Question

7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a-c）$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=c$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{CA}$．
（1）求角B的大小；
（2）若|$\overrightarrow{BA}$-$\overrightarrow{BC}$|=2$\sqrt{2}$，求|$\overrightarrow{BA}$|+|$\overrightarrow{BC}$|的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用向量数量积的运算法则化简已知可得（2a-c）cosB=bcosC，然后利用正弦定理化简后，根据sinA不为0得到cosB的值，根据B的范围及特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）根据向量的减法法则，得到b²=8，然后根据余弦定理表示出b的平方，把b的平方代入后，利用基本不等式即可求出a+c的最大值．

解答 解：（1）∵（2a-c）$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=c$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{CA}$，
∴（2a-c）cacosB=cabcosC，
∴（2a-c）cosB=bcosC，
根据正弦定理有（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，
∵sinA＞0，∴cosB=$\frac{1}{2}$，
∴B=$\frac{π}{3}$；
（2）∵|$\overrightarrow{BA}$-$\overrightarrow{BC}$|=2$\sqrt{2}$，∴b²=8，
根据余弦定理b²=a²+c²-2accosB，
可得8=a²+c²-ac，
∴（a+c）²-8=3ac
∵ac≤$（\frac{a+c}{2}）^{2}$，
∴（a+c）²-8=$\frac{3}{4}$（a+c）²，
∴a+c≤4$\sqrt{2}$，
∴|$\overrightarrow{BA}$|+|$\overrightarrow{BC}$|的最大值为4$\sqrt{2}$．

点评 此题考查学生灵活运用平面向量的数量积的运算法则，灵活运用正弦、余弦定理及基本不等式是关键，是一道综合题．