Question

10．已知函数f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$．
（1）求函数f（x）的零点，并求反函数f^-1（x）；
（2）设g（x）=2log₂$\frac{1+x}{k}$，若不等式f^-1（x）≤g（x）在区间[$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]上恒成立，求实数k的范围．

Answer 1

分析 （1）由函数f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=0，由$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1=0}\\{{2}^{x}+1≠0}\end{array}\right.$，解得x即可得出．由y=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，解得x=$lo{g}_{2}\frac{1+y}{1-y}$，把x与y互换，即可得出反函数．
（2）k＞0，由不等式f^-1（x）≤g（x）得到k²≤（1-x）（1+x）=1-x²，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）由函数f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1=0}\\{{2}^{x}+1≠0}\end{array}\right.$，解得x=0．
∴函数f（x）的零点是x=0．
由y=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，解得${2}^{x}=\frac{1+y}{1-y}$，x=$lo{g}_{2}\frac{1+y}{1-y}$，
把x与y互换，可得f^-1（x）=$lo{g}_{2}\frac{1+x}{1-x}$，x∈（-1，1）．
（2）∵k＞0，
∴$lo{g}_{2}\frac{1+x}{1-x}$≤$2lo{g}_{2}\frac{1+x}{k}$=$lo{g}_{2}（\frac{1+x}{k}）^{2}$，
得到k²≤（1-x）（1+x）=1-x²，
∵x∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]，
当$x=\frac{2}{3}$时，右边最小值为$\frac{5}{9}$，
解得$0＜k≤\frac{\sqrt{5}}{3}$．
∴实数k的范围是$（0，\frac{\sqrt{5}}{3}]$．

点评 本题考查了反函数的求法、二次函数的单调性、指数函数与对数函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．