Question

4．已知函数f（x）=log₂²x-mlog₂x+a，g（x）=x²+1．
（1）当a=1时，求f（x）在x∈[1，4]上的最小值；
（2）当a＞0，m=2时，若对任意的实数t∈[1，4]，均存在x_i∈[1，8]（i=1，2），且x₁≠x₂，使得$\frac{g（{x}_{i}-a）+2a}{{x}_{i}}$=f（t）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）$f（x）=lo{g}_{2}^{2}x-mlo{g}_{2}x+1=（lo{g}_{2}x-\frac{m}{2}）^{2}$$+1-\frac{{m}^{2}}{4}$，转化成二次函数问题，利用单调性研究最小值．
（2）令log₂t=u（0≤u≤2），则f（t）=u²-2u+a的值域是[a-1，a]．由条件列式求解．

解答 解：（1）$f（x）=lo{g}_{2}^{2}x-mlo{g}_{2}x+1=（lo{g}_{2}x-\frac{m}{2}）^{2}$$+1-\frac{{m}^{2}}{4}$，其中
0≤log₂x≤2．  所以①$\frac{m}{2}≤0$，即m≤0，此时f（x）_min=f（1）=1，②当$\frac{m}{2}≥2$，
即m≥4，此时f（x）_min=f（4）=5-2m，③0＜m＜4时，当$lo{g}_{2}x=\frac{m}{2}$时，
$f（x）_{min}=1-\frac{{m}^{2}}{4}$．
所以，f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{1，m≤0}\\{5-2m，m≥4}\\{1-\frac{{m}^{2}}{4}，0＜m＜4}\end{array}\right.$ …（6分）
（2）令log₂t=u（0≤u≤2），则f（t）=u²-2u+a的值域是[a-1，a]．
∵对任意的实数t∈[1，4]，均存在x_i∈[1，8]（i=1，2），且x₁≠x₂，使得$\frac{g（{x}_{i}-a）+2a}{{x}_{i}}$=f（t）成立，
∴y=$\frac{（x-a）^{2}+1+2a}{x}=x+\frac{（a+1）^{2}}{x}-2a（1≤x≤8）$的值域是[a-1，a]．
∴$\left\{\begin{array}{l}{1＜a+1＜8}\\{a-1＞2}\\{a≤{a}^{2}+2}\\{a≤8+\frac{1}{8}（a+1）^{2}-2a}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜7}\\{a＞3}\\{a∈R}\\{a≥11+2\sqrt{14，}，a≤11-2\sqrt{14}}\end{array}\right.$，
解得$3＜a≤11-2\sqrt{14}$…（14分）

点评 本题主要考查以对数函数为背景的二次函数问题，属于中档题目，高考常考题型．