Question

14．在平面直角坐标系xoy中，P是曲线C：y=e^x上的一点，直线l：x+2y+c=0经过点P，且与曲线C在P点处的切线垂直，则实数c的值为-4-ln2．

Answer 1

分析 求出导数，设出切点，求得切线的斜率，再由两直线垂直的条件，可得切点坐标，由代入法，即可得到c．

解答 解：y=e^x的导数y′=e^x，
与曲线C在P点处的切线垂直，则所求切线的斜率为2，
设切点P为（x₀，y₀），则e${\;}^{{x}_{0}}$=2，
所以x₀=ln2，y₀=e^ln2=2．
所以直线x+2y+c=0经过点P（ln2，2），
所以c=-4-ln2．
故答案为：-4-ln2．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，同时考查两直线垂直的条件：斜率为-1，考查运算能力，属于中档题．