Question

4．已知定义在区间[a，a+2]上的奇函数y=f（x），当0＜x≤a+2时，f（x）=$\frac{1}{4}$（x-1）．若方程f（x）=x³+cx恰有三个不相等的实数根，则实数c的取值范围为$c=-\frac{1}{2}$或c＜-1．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的性质求出a的值，求出函数f（x）的表达式，利用函数和方程之间的关系，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：∵f（x）是定义在区间[a，a+2]上的奇函数，
∴a+a+2=0，即2a+2=0，交点a=-1，
即对应区间为[-1，1]，当0＜x≤1时，f（x）=$\frac{1}{4}$（x-1）．
则当-1≤x＜0时，0＜-x≤1，此时f（-x）=$\frac{1}{4}$（-x-1）=-f（x），
则f（x）=$\frac{1}{4}$（x+1），
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}（x-1），}&{0＜x≤1}\\{0，}&{x=0}\\{\frac{1}{4}（x+1），}&{-1≤x＜0}\end{array}\right.$．
作出函数f（x）的图象如图：
则设g（x）=x³+cx，则g（x）为奇函数，
若方程f（x）=x³+cx恰有三个不相等的实数根，
则等价为f（x）与g（x）有3个不同的交点，
根据函数奇偶性的对称性，则等价为在（0，1]上，两个函数只有一个交点，
函数g（x）的导数g′（x）=3x²+c，
若c≥0，则g′（x）＞0，即函数g（x）在（0，1]上为增函数，此时在（0，1]上没有交点，不满足条件．
若c＜0，
当g（x）与f（x）在（0，1]上相切时，由g′（x）=$\frac{1}{4}$得3x²+c=$\frac{1}{4}$，
即3x²=$\frac{1}{4}$-c，
由x³+cx=$\frac{1}{4}$（x-1）两个方程联立得c=$-\frac{1}{2}$，x=$\frac{1}{2}$，即切点坐标为（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{8}$）．
当g（x）与f（x）不相切时，即c≠$-\frac{1}{2}$时，
要使在（0，1]上，两个函数只有一个交点，
则满足g（1）＜0，
即1+c＜0，解得c＜-1，
综上$c=-\frac{1}{2}$或c＜-1，
故答案为：$c=-\frac{1}{2}$或c＜-1

点评 本题主要考查方程根的个数的应用，根据函数奇偶性性质求出a的值，以及利用函数和方程之间的关系转化为两个图象的交点问题是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．