Question

15．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA=$\sqrt{6}$，M为PC的中点．
（1）求异面直线PB与MD所成的角的大小；
（2）求平面PCD与平面PAD所成的二面角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）建立坐标系设AC与BD交于点O，以O为顶点，向量$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OD}$为x，y轴，平行于AP且方向向上的向量为z轴建立直角坐标系．求解得出COS＜$\overrightarrow{MD}$，$\overrightarrow{PB}$＞=$\frac{\overrightarrow{MD}•\overrightarrow{PB}}{|MD|•|\overrightarrow{PB}|}$即可得出夹角．
（2）求解平面PCD的法向量为$\overrightarrow{n}$₁=（x₁，y₁，z₁），平面PAD的法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x₂，y₂，z₂），利用cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}•}\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$，得出sin＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\sqrt{30}}{6}$．即可得出平面PCD与平面PAD所成的二面角的正弦值．

解答 解：（1）设AC与BD交于点O，以O为顶点，向量$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OD}$为x，y轴，平行于AP且方向向上的向量为z轴建立直角坐标系．
则A（-1，0，0），C（1，0，0），B（0，-$\sqrt{3}$，0），D（0，$\sqrt{3}$，0），P（-1，0，$\sqrt{6}$），
所以M（0，0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），$\overrightarrow{MD}$=（0，$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$），$\overrightarrow{PB}$=（1，-$\sqrt{3}$，-$\sqrt{6}$），
COS＜$\overrightarrow{MD}$，$\overrightarrow{PB}$＞=$\frac{\overrightarrow{MD}•\overrightarrow{PB}}{|MD|•|\overrightarrow{PB}|}$=$\frac{-3+3}{\sqrt{3+\frac{3}{2}}•\sqrt{1+3+6}}$=0，
所以异面直线PB与MD所成的角为90°．
（2）设平面PCD的法向量为$\overrightarrow{n}$₁=（x₁，y₁，z₁），平面PAD的法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x₂，y₂，z₂），
因为$\overrightarrow{CD}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{PD}$=（1，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{6}$），$\overrightarrow{PA}$=（0，0，-$\sqrt{6}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{{n}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{{n}_{1}}=0}\end{array}\right.$
即$\left\{\begin{array}{l}{-{x}_{1}+\sqrt{3}{y}_{1}=0}\\{{x}_{1}+\sqrt{3}{y}_{1}-\sqrt{6}{z}_{1}=0}\end{array}\right.$
令y₁=1，得出$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（$\sqrt{3}$，1，$\sqrt{2}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{PA}=-\sqrt{6}{z}_{2}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{PD}={x}_{2}+\sqrt{3}{y}_{2}-{z}_{2}=0}\end{array}\right.$令y₂=-1，得$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（$\sqrt{3}$，-1，0），
所以cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}•}\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{3-1}{\sqrt{6}×2}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，所以sin＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\sqrt{30}}{6}$．
即可得出平面PCD与平面PAD所成的二面角的正弦值$\frac{\sqrt{30}}{6}$．

点评 本题考查了空间向量解决直线与直线的夹角，平面于平面的夹角，关键是准确求解向量的坐标，数量积，属于中档题．