Question

20．已知a∈R，函数f（x）=x|x-a|．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，请说明理由
（2）若函数在区间[3，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值g（a）的表达式．

Answer 1

分析 （1）讨论a=0时与a≠0时的奇偶性，然后定义定义进行证明即可；
（2）根据a的取值范围，结合二次函数的单调性进行求解即可．
（3）根据a的取值范围，结合函数的图象，即可求出在区间[1，2]上的最小值．

解答 解：（1）由题意可知函数f（x）的定义域为R．
当a=0时f（x）=x|x-a|=x|x|，为奇函数．
当a≠0时，f（x）=x|x-a|，
f（1）=|1-a|，f（-1）=-|1+a|，
f（-x）≠f（x）且f（-x）≠-f（x），
∴此时函数f（x）为非奇非偶函数．
（2）由题意可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax=（x-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}，x≥a}\\{ax-{x}^{2}=-（x-\frac{a}{2}）^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}，x＜a}\end{array}\right.$，
即若a=0，则函数f（x）=x|x|为增函数，满足条件．
若a＞0，则函数在（-∞，$\frac{a}{2}$]和[a，+∞）为增函数，
若函数在区间[3，+∞）上单调递增，则0＜a≤3，
若a＜0，则函数在（-∞，a]和[$\frac{a}{2}$，+∞）为增函数，
此时函数在区间[3，+∞）上单调递增，恒成立，
综上a≤3．
（3）若a=0，则函数f（x）=x|x|为增函数，则函数f（x）在区间[1，2]上的最小值g（a）=g（1）=1．
若a＞0，则函数在（-∞，$\frac{a}{2}$]和[a，+∞）为增函数，
若a≤1，函数f（x）在区间[1，2]上为增函数，则最小值g（a）=f（1）=|1-a|=1-a，
若1＜a＜2，函数f（x）在区间[1，2]上的最小值g（a）=f（a）=0．
若1≤$\frac{a}{2}$≤2，即2≤a≤4，则函数的最小值为g（a）=min{f（1），f（2）}，
若$\frac{a}{2}$＞2，得a＞4，此时函数f（x）在[1，2]上为增函数，则最小值g（a）=f（1）=|1-a|=a-1，
若a＜0，则函数在[1，2]上为增函数，则最小值g（a）=f（1）=|1-a|=1-a．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，考查了分类讨论思想，综合性较强，有一定的难度．