Question

8．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是以AD，BC为腰的等腰梯形，且DC=$\frac{1}{2}AB，∠DAB={60°}$，EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，M为AB的中点．
（I）求证：FM∥平面BCE；
（Ⅱ）若EC⊥平面ABCD，求证：BC⊥AF．

Answer 1

分析 （I）取BC的中点N，连结MN，EN．先证明出四边形MNEF为平行四边形，推断出FM∥EN，进而利用线面平行的判定定理证明出FM∥平面BCE．
（Ⅱ）先证明出ABCD为等腰梯形．推断出∠CMB=∠CBM=60°，判断出△CMB为等边三角形，推断出CM=MB=$\frac{1}{2}$AB．进而证明出△ABC为直角三角形，即BC⊥AC．最后利用线面垂直的判定定理证明出BC⊥面ACEF，则BC⊥AF得证．

解答 （I）证明：取BC的中点N，连结MN，EN．
在△ABC中，MN∥AC，MN=$\frac{1}{2}$AC．
又∵EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，
∴EF∥MN，EF=MN，
∴四边形MNEF为平行四边形，
∴FM∥EN，
∵FM?平面BCE，EN?平面BCE，
∴FM∥平面BCE．
（Ⅱ）证明：由（I）知AD∥MC，
∴∠DAM=∠CMB=60°，
∴ABCD为等腰梯形．
∴∠CBM=∠DAM=60°，∠CMB=∠CBM=60°，
∴△CMB为等边三角形，
∴CM=MB=$\frac{1}{2}$AB．
∴△ABC为直角三角形，即BC⊥AC．
又∵EC⊥面ABCD，BC?面ABCD，
∴EC⊥BC．
又∵EC与AC相交，且同在平面ACEF内，
∴BC⊥面ACEF，
∵AF?面ACEF，
∴AF⊥BC．

点评 本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的运用．注重了对学生空间观察能力和基础定理的灵活运用的考查．