Question

3．点P是△ABC所在的平面外一点P，连结PA、PB、PC，且有PB=PC=$\sqrt{5}$，AB=AC=2$\sqrt{2}$，∠BAC=90°，G为△PAB的重心．
（1）试判断直线BG与AC的位置关系，并说明理由；
（2）记H为AB中点，当PA=$\sqrt{5}$时，求直线HG与平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根据异面直线判定定理，可得直线BG与AC异面；
（2）以O原坐标原点，建立空间坐标系，求出直线HG的方向向量和平面PAC的法向量，代入向量夹角公式，可得直线HG与平面PAC所成角的正弦值．

解答 解：（1）直线BG与AC异面，理由如下：
延长BG交PA于D，如下图所示：

由PA?平面PAC，可得D∈平面PAC，
即BG∩平面PAC=D，
又由AC?平面PAC，D∉AC，
可得：直线BG与AC异面；
（2）如图所示，取BC的中点O，连接OA，OP，
∵PB=PC，
∴OP⊥BC．
∵AB=AC=2$\sqrt{2}$，∠BAC=90°，PB=PC=$\sqrt{5}$，
∴BC=4，OA=OB=OC=$\frac{1}{2}BC$=2，OP=$\sqrt{P{B}^{2}{-OB}^{2}}$=1，
又由PA=$\sqrt{5}$，可得：OA²+OP²=PA²，即OP⊥OA，
∵OA∩BC=O，OA，BC?平面ABC，
∴OP⊥平面ABC，
∴OA，OB，OP两两互相垂直
以O原坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则B（2，0，0），A（0，2，0），C（-2，0，0），P（0，0，1），H（1，1，0），
∵G为△PAB的重心，
∴G（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），
∴$\overrightarrow{HG}$=（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（-2，-2，0），$\overrightarrow{PA}$=（0，2，-1），
设平面PAC的一个法向量是$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则由：
$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=0\\ \overrightarrow{m}•\overrightarrow{PA}=0\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}-2x-2y=0\\ 2y-z=0\end{array}\right.$，
令x=-1，则$\overrightarrow{m}$=（-1，1，2），
记直线HG与平面PAC所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{HG}|}{\left|\overrightarrow{m}\right|•\left|\overrightarrow{HG}\right|}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
故直线HG与平面PAC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题主要考查了直线与平面之间所成角，异面直线的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题