Question

18．已知△ABC是半径为5的圆O的内接三角形，且$tanA=\frac{4}{3}$，若$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}（x、y∈R）$，则x+y的最大值为（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• C． 1
• D． $\frac{5}{8}$

Answer 1

分析 延长AO与BC相交于点D，作OA₁∥DA₂∥AB，OB₁∥DB₂∥AC，设$\overrightarrow{AD}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}（m＞0，n＞0）$，推出$\frac{m}{x}=\frac{n}{y}=\frac{|AD|}{|AO|}$，结合B、D、C三点共线，得到x+y的表达式，利用三角代换，求解最值即可．

解答 解：延长AO与BC相交于点D，作OA₁∥DA₂∥AB，OB₁∥DB₂∥AC，
设$\overrightarrow{AD}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}（m＞0，n＞0）$，易知x＞0，y＞0，则$\frac{m}{x}=\frac{n}{y}=\frac{{|{AD}|}}{{|{AO}|}}⇒$$\left\{\begin{array}{l}m=\frac{{|{AD}|}}{{|{AO}|}}x\\ n=\frac{{|{AD}|}}{{|{AO}|}}y\end{array}\right.⇒\overrightarrow{AD}=x•\frac{{|{AD}|}}{{|{AO}|}}\overrightarrow{AB}+y•\frac{{|{AD}|}}{{|{AO}|}}\overrightarrow{AC}$，
又B、D、C三点共线，所以$x•\frac{{|{AD}|}}{{|{AO}|}}+y•\frac{{|{AD}|}}{{|{AO}|}}=1⇒x+y=\frac{{|{AO}|}}{{|{AD}|}}=\frac{AO}{AO+OD}=\frac{1}{{1+\frac{OD}{AO}}}$，
只需$\frac{OD}{AO}$最小，就能使x+y最大，所以当OD最小即可，过点O作OM⊥BC于点M，从而OD≥OM，
又∠BOM=∠BAC=θ，由$tanθ=\frac{4}{3}⇒cosθ=\frac{3}{5}=\frac{OM}{OB}⇒OM=3$，
那么$x+y≤\frac{1}{{1+\frac{3}{5}}}=\frac{5}{8}$．
故选：D．

点评 本题考查向量在集合中的应用，三角代换以及共线向量的应用，是中档题．