Question

9．如图，已知二次函数y=ax²+bx-3的图象过坐标（-2，5），与x轴的两个交点分别为A，B（3，0）．与y轴的负半轴交于点C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在该函数图象上能否找到一点P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知中二次函数y=ax²+bx-3的图象过坐标（-2，5），（3，0），代入构造方程，解方程求出a，b的值可得二次函数的表达式；
（2）若∠POC=∠PCO，则PC=PO，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，结合二次函数解析式可求出P点坐标．

解答 解：（1）∵二次函数y=ax²+bx-3的图象过坐标（-2，5），（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}4a-2b-3=5\\ 9a+3b-3=0\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-2\end{array}\right.$
故二次函数的表达式y=x²-2x-3
（2）若∠POC=∠PCO，则PC=PO，
则P点在OC的垂直平分线上，
由（1）得C点坐标为（0，-3），
故OC的垂直平分线方程为：y=-$\frac{3}{2}$

由x²-2x-3=-$\frac{3}{2}$得：x=$\frac{2±\sqrt{10}}{2}$，
故P点的坐标为：（$\frac{2-\sqrt{10}}{2}$，-$\frac{3}{2}$），或（$\frac{2+\sqrt{10}}{2}$，-$\frac{3}{2}$）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数解析式的求法，难度不大，属于基础题．