Question

4．设函数f（x）=2x-$\frac{3}{x}$+alnx（a∈R），g（x）=3x-$\frac{3}{x}$．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）的图象与f（x）的图象有两个交点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求导，根据△与0的关系进行分类讨论，利用导数和函数的单调性的关系即可求出单调区间；
（2）化简f（x）-g（x）=0，得到alnx=x，分别画出分别画出y=x和y=alnx的图象，先求出当直线y=x和曲线y=alnx相切时a的值，观察即可得到函数g（x）的图象与f（x）的图象有两个交点的a的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=2x-$\frac{3}{x}$+alnx（a∈R），x＞0，
∴f′（x）=2+$\frac{3}{{x}^{2}}$+$\frac{a}{x}$=$\frac{2{x}^{2}+ax+3}{{x}^{2}}$，x＞0，
当△=a²-24≤0时，即-2$\sqrt{6}$≤a≤2$\sqrt{6}$，2x²+ax+3≥0恒成立，
∴f′（x）≥0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当△=a²-24＞0时，即a＜-2$\sqrt{6}$，或a＞2$\sqrt{6}$时，
令f′（x）=0，解得x₁=$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-24}}{4}$，x₂=$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-24}}{4}$，
若a＞2$\sqrt{6}$时，则x₁＜x₂＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
若a＜-2$\sqrt{6}$，则0＜x₁＜x₂，
当f′（x）＞0时，即x＞x₂，或x＜x₁，函数单调递增，
当f′（x）＜0时，即x₁＜x＜x₂，函数单调递减，
综上所述，当a≥-2$\sqrt{6}$时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＜-2$\sqrt{6}$时，函数f（x）在（0，$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-24}}{4}$）和（$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-24}}{4}$，+∞）上单调递增，在（$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-24}}{4}$，$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-24}}{4}$）单调递减；
（2）∵设h（x）=f（x）-g（x）=alnx-x=0（a∈R），
分别画出y=x和y=alnx的图象，
当直线y=x和曲线y=alnx相切时，设切点为（x₀，x₀），
∴y′=$\frac{a}{x}$
∴$\frac{a}{{x}_{0}}$=1，
即x₀=a，
∴a=alma，
解得a=e，
∵函数g（x）的图象与f（x）的图象有两个交点
∴a＞e，
故a的取值范围为（e，+∞）．

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题