Question

19．已知变量x，y满足$\left\{\begin{array}{l}x-4y+3≤0\\ x+y-4≤0\\ x≥1\end{array}\right.$，则 $\frac{xy}{{{x^2}+{y^2}}}$的取值范围为$[\frac{3}{10}，\frac{1}{2}]$．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，求出$\frac{y}{x}$的取值范围，把 $\frac{xy}{{{x^2}+{y^2}}}$化为含$\frac{y}{x}$的代数式后换元，再利用“对勾函数”的单调性求得最值，则答案可求．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-4y+3≤0\\ x+y-4≤0\\ x≥1\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{x-4y+3=0}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{13}{5}，\frac{7}{5}$），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$，解得B（1，3）．
∴$\frac{y}{x}$的取值范围是[$\frac{7}{13}，3$]．
 z=$\frac{xy}{{{x^2}+{y^2}}}$=$\frac{\frac{y}{x}}{1+（\frac{y}{x}）^{2}}$，
令$\frac{y}{x}=t$（$\frac{7}{13}≤t≤3$），
则z=$\frac{t}{1+{t}^{2}}=\frac{1}{\frac{1}{t}+t}$，当t=1时，z有最大值为$\frac{1}{2}$；
当t=3时，z有最小值为$\frac{3}{10}$．
∴$\frac{xy}{{{x^2}+{y^2}}}$的取值范围为$[\frac{3}{10}，\frac{1}{2}]$，
故答案为：$[\frac{3}{10}，\frac{1}{2}]$．

点评 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的数学思想方法和数学转化思想方法，是中档题．