Question

7．如图，已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，过椭圆右焦点F₂作两条互相垂直的弦AB与CD，当直线AB的斜率为0时，|AB|+|CD|=7．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求|AB|+|CD|的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过当直线AB的斜率为0时可知|AB|=2a，$|{CD}|=\frac{{2{b^2}}}{a}$，结合$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，计算即得结论；
（Ⅱ）分别对两条弦的斜率进行讨论，当两条弦中一条斜率为0时、另一条弦的斜率不存在时易得结论；当两条弦斜率均存在且不为0时，通过设直线AB、CD的方程并分别与椭圆方程联立，利用韦达定理及两点间距离公式，可得|AB|+|CD|的表达式，利用换元法及二次函数的性质计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）当直线AB的斜率为0时，直线CD垂直于x轴，
∴|AB|=2a，$|{CD}|=\frac{{2{b^2}}}{a}$，即 $|{AB}|+|{CD}|=2a+\frac{{2{b^2}}}{a}=7$，
∵$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，且a²=b²+c²，解得：$a=2，b=\sqrt{3}$，
所以椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，
由题意可知，|AB|+|CD|=7；
②当两条弦斜率均存在且不为0时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
设直线AB的方程为y=k（x-1），则直线CD的方程为$y=-\frac{1}{k}（{x-1}）$，
将直线AB的方程代入椭圆方程中，并整理得：
（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$，
∴$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\frac{{12（{{k^2}+1}）}}{{3+4{k^2}}}$，
同理，$|{CD}|=\frac{{12（{\frac{1}{k^2}+1}）}}{{3+\frac{4}{k^2}}}=\frac{{12（{{k^2}+1}）}}{{3{k^2}+4}}$，
∴$|{AB}|+|{CD}|=\frac{{12（{{k^2}+1}）}}{{3+4{k^2}}}+\frac{{12（{{k^2}+1}）}}{{3{k^2}+4}}=\frac{{84{{（{{k^2}+1}）}^2}}}{{（{3+4{k^2}}）（{3{k^2}+4}）}}$，
令t=k²+1，则t＞1，
∴$|{AB}|+|{CD}|=\frac{{84{t^2}}}{{（{4t-1}）（{3t+1}）}}=\frac{{84{t^2}}}{{12{t^2}+t-1}}=\frac{84}{{-{{（{\frac{1}{t}-\frac{1}{2}}）}^2}+\frac{49}{4}}}$，
∵t＞1，∴$0＜\frac{1}{t}＜1$，
∴$12＜-{（{\frac{1}{t}-\frac{1}{2}}）^2}+\frac{49}{4}≤\frac{49}{4}$，∴$\frac{4}{49}≤\frac{1}{{-{{（{\frac{1}{t}-\frac{1}{2}}）}^2}+\frac{49}{4}}}＜\frac{1}{12}$，
∴$\frac{48}{7}≤\frac{84}{{-{{（{\frac{1}{t}-\frac{1}{2}}）}^2}+\frac{49}{4}}}＜7$，∴$\frac{48}{7}≤|{AB}|+|{CD}|＜7$，
综合①②可知，|AB|+|CD|的取值范围为：[$\frac{48}{7}$，7]．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．