Question

12．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）和⊙M：（x-4）²+y²=r²（0＜r≤1），圆心M到抛物线C的准线的距离为$\frac{17}{4}$，过抛物线C上一点H（x₀，y₀）（y₀≥1）作两条直线分别与⊙M相切与A、B两点，与抛物线C交于E、F两点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率；
（3）若r=1时，直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用点M到抛物线准线的距离为$\frac{17}{4}$，可得p=$\frac{1}{2}$，从而可求抛物线C的方程；
（2）根据当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），可得k_HE=-k_HF，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），可得y₁+y₂=-2y_H=-4，从而可求直线EF的斜率；
（3）求以H为圆心、HA为半径的圆方程与⊙M方程相减可得公共弦所在直线AB的方程，当x=0时，直线AB在y轴上的截距t=4m-$\frac{15}{m}$（m≥1），再利用导数法，即可求得t的最小值．

解答 解：（1）∵点M到抛物线准线的距离为4+$\frac{p}{2}$=$\frac{17}{4}$，
∴p=$\frac{1}{2}$，∴抛物线C的方程为y²=x；
（2）∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），∴k_HE=-k_HF，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则$\frac{{y}_{H}-{y}_{1}}{{x}_{H}-{x}_{1}}$=-$\frac{{y}_{H}-{y}_{2}}{{x}_{H}-{x}_{2}}$，
∴$\frac{{y}_{H}-{y}_{1}}{{{y}_{H}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}$=-$\frac{{y}_{H}-{y}_{2}}{{{y}_{H}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}}$，∴y₁+y₂=-2y_H=-4．
∴k_EF=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}$=$\frac{1}{{{y}_{1}+y}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$；
（3）设点H（m²，m）（m≥1），则HM²=m⁴-7m²+16，
∴HA²=HM²-AM²=m⁴-7m²+15．
以H为圆心，HA为半径的圆方程为（x-m²）²+（y-m）²=m⁴-7m²+15，①
⊙M方程：（x-4）²+y²=1．                                                ②
①-②得：直线AB的方程为（2x-m²-4）（4-m²）-（2y-m）m=m⁴-7m²+14，
当x=0时，直线AB在y轴上的截距t=4m-$\frac{15}{m}$（m≥1），
∵t′=4+$\frac{15}{{m}^{2}}$，∴t关于m的函数在[1，+∞）上单调递增，
∴当m=1时，t_min=-11．

点评 本题以抛物线与圆的方程为载体，考查抛物线的标准方程，考查直线方程，同时考查利用导数法解决函数的最值问题，综合性较强，注意解题方法的积累，属于中档题．