Question

17．用数学归纳法证明：1+3+5+…+（2n-3）+（2n-1）+（2n-3）+…+5+3+1=2n²-2n+1（n∈N^*）

Answer 1

分析 利用数学归纳法证明，只要利用归纳假设证明：当n=k+1时，左边=1+3+5+…+（2k-3）+（2k-1）+（2k+1）+（2k-1）+（2k-3）+…+5+3+1=2k²+2k+1=2（k+1）²-2（k+1）+1=右边即可．

解答 证明：利用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，左边=1=右边，此时等式成立；
（2）假设当n=k∈N^*时，1+3+5+…+（2k-3）+（2k-1）+（2k-3）+…+5+3+1=2k²-2k+1（k∈N^*）成立．
则当n=k+1时，左边=1+3+5+…+（2k-3）+（2k-1）+（2k+1）+（2k-1）+（2k-3）+…+5+3+1=2k²-2k+1+（2k+1）+（2k-1）=2k²+2k+1=2（k+1）²-2（k+1）+1=右边，
∴当n=k+1时，等式成立．
综上可得：对于?n∈N^*，1+3+5+…+（2n-3）+（2n-1）+（2n-3）+…+5+3+1=2n²-2n+1成立．

点评 本题考查了数学归纳法证明等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．