Question

19．设F（c，0）为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点，点B的坐标为（0，b）．若圆（x-c）²+y²=r²（r＞0）与双曲线的渐近线相切，且|FB|≥$\sqrt{3}$r，则该双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

• A． $（1，\sqrt{2}]$
• B． $[\sqrt{2}，+∞）$
• C． $（1，\sqrt{3}]$
• D． $[\sqrt{3}，+∞）$

Answer 1

分析 利用圆（x-c）²+y²=r²（r＞0）与双曲线的渐近线相切，可得r=b，利用|FB|≥$\sqrt{3}$r，即可求出双曲线的离心率e的取值范围．

解答 解：双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为bx-ay=0，
因为圆（x-c）²+y²=r²（r＞0）与双曲线的渐近线相切，
所以$\frac{|bc|}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=r，所以r=b，
因为|FB|≥$\sqrt{3}$r，
所以$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$≥$\sqrt{3}$b，
所以$\frac{1}{2}$c²≥b²，
所以$\frac{1}{2}$c²≥c²-a²，
因为e＞1，所以1＜e≤$\sqrt{2}$．
故选：A．

点评 熟练掌握圆的标准方程、双曲线的渐近线方程、圆与直线相切的性质、点到直线的距离公式是解题的关键．