Question

8．根据下面各个数列{a_n}的首项和递推关系，求其通项公式．
（1）a₁=1，a_n+1=a_n+2n（n∈N^*）；
（2）a₁=1，a_n+1=+$\frac{n}{n+1}$a_n（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）采用迭加法，利用递推关系a_n+1-a_n=2n，代入变式a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）即可求出a_n
（2）采用叠乘法，由$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+1}$，即可导出每一项与前一项的比值，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n}$，$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{n-2}{n-1}$，…$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，相乘得出$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{n}$，验证n=1，即可得出通项公式．

解答 解：（1）∵a₁=1，a_n+1=a_n+2n（n∈N^*）；
∴a_n-a_n-1=2（n-1），
得出：a_n-a_n-1=2（n-1），
a_n-1-a_n-2=2（n-2），
…
a₂-a₁=2×1，
n-1个式子相加得出：a_n-a₁=2（1+2+3+…+（n-1））=n（n-1），
∴a_n=n（n-1）+1，n≥2
n=1时，a₁=1×（1-1）+1=1，符合公式，
通项公式a_n=n（n-1）+1．
（2）∵a₁=1，a_n+1=$\frac{n}{n+1}$a_n（n∈N^*）．
∴根据递推关系式得出：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n}$，
$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{n-2}{n-1}$，
…$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
n-1个式子相乘得出：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{n}$，n≥2，
即a_n=$\frac{1}{n}$×1=$\frac{1}{n}$，n≥2，
n=1，a₁=$\frac{1}{1}$=1，符合题意，
∴其通项公式a_n=$\frac{1}{n}$，

点评 本例主要复习求通项公式的几种方法：迭加法、迭乘法；属于数列求通项的重要方法，难度适中，属于中档题，关键是验证n=1的情况，思路要严密．