Question

20．设f（x）=$\frac{（x+a）lnx}{x+1}$，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直．
（1）求a的值；
（2）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x-1）恒成立，求m的范围．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，根据导数的几何意义即可得到结论．求a的值；
（2）将不等式恒成立转化为求函数的最值，求函数的导数，利用导数进行求解即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{（\frac{x+a}{x}+lnx）（x+1）-（x+a）lnx}{（x+1）^{2}}$，
∵y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直，
∴f′（1）=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{2（1+a）}{4}=\frac{1}{2}$，∴1+a=1，解得a=0．
（2）f（x）=$\frac{xlnx}{x+1}$，
若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x-1）恒成立，
即lnx≤m（x-$\frac{1}{x}$），
设g（x）=lnx-m（x-$\frac{1}{x}$），
即对于任意的x∈[1，+∞），g（x）≤0，
g′（x）=$\frac{1}{x}$-m（1+$\frac{1}{{x}^{2}}$）=$\frac{-m{x}^{2}+x-m}{{x}^{2}}$，
①若m≤0，g′（x）＞0，则g（x）≥g（1）=0，这与题设g（x）≤0矛盾．
②若m＞0，方程-mx²+x-m=0的判别式△=1-4m²，
当△≤0，即m≥$\frac{1}{2}$时，g′（x）≤0．
∴g（x）在（1，+∞）上单减，
∴g（x）≤g（1）=0，不等式成立．
当0＜m＜$\frac{1}{2}$时，方程-mx²+x-m=0，设两根为x₁，x₂，（x₁＜x₂），
x₁=$\frac{1-\sqrt{1-4{m}^{2}}}{2m}$∈（0，1），x₂=$\frac{1+\sqrt{1-4{m}^{2}}}{2m}$∈（1，+∞），
当x∈（1，x₁），g′（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）＞g（1）=0，与题设矛盾．
综上所述，m≥$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查导数的综合应用以及函数切线的求解，考查学生的运算能力，综合性较强，有一定的难度．