Question

15．已知向量$\overrightarrow{a}$=（x²-3，1），$\overrightarrow{b}$=（x，-y），（其中实数x和y不同时为零），当|x|＜2时，有$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，当|x|≥2时，$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$．
（1）求函数关系式y=f（x）；
（2）若对任意x∈（-∞，-2）∪[2，+∞），都有m≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据向量垂直和向量平行的坐标公式即可求函数关系式y=f（x）；
（2）根据不等式恒成立转化为求函数f（x）的最大值即可得到结论．

解答 解：（1）当|x|＜2时，由$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$可得：$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（x²-3）x-y=0-------------------------1’
∴y=x³-3x（|x|＜2且x≠0）---------------------------------------------------3’
当|x|≥2时，由$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$可得：y=-$\frac{x}{{x}^{2}-3}$=$\frac{x}{3-{x}^{2}}$---------------------------------------5’
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-3x，}&{-2＜x＜2且x≠0}\\{\frac{x}{3-{x}^{2}，}}&{x≥2或x≤-2}\end{array}\right.$-----------------------------------6’
（2）由题意知m≥f（x）=$\frac{x}{3-{x}^{2}}$，当x∈（-∞，-2）∪[2，+∞）恒成立，
∴m≥f（x）_max，-----------------------------------7’
当x∈（-∞，-2）时，f（x）=$\frac{x}{3-{x}^{2}}$＞0，
而当当x∈[2，+∞）时，f（x）＜0
∴f（x）=$\frac{x}{3-{x}^{2}}$的最大值必在（-∞，-2]上取到--------------------------------------8’
当x₁＜x₂≤-2时，f（x₁）-f（x₂）=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（3+{x}_{1}{x}_{2}）}{（3-{{x}_{1}}^{2}）（3-{{x}_{2}}^{2}）}$＜0，
即函数f（x）在（-∞，-2]上单调递增，-------------------11’
∴f（x）_max=f（-2）=2---------------12’
∴实数m的取值范围为[2，+∞）----------------------------------------------------13’

点评 本题主要考查函数解析式的求解以及向量平行和垂直的坐标公式，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决恒成立问题的基本策略．