Question

9．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}a{x^2}$+bx（a≠0），g（x）=1+lnx．
（Ⅰ）若b=1，且F（x）=g（x）-f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（Ⅱ）设函数g（x）的图象C₁与函数f（x）的图象C₂交于点M、N，过线段MN的中点T作x轴的垂线分别交C₁、C₂于点P、Q，是否存在点T，使C₁在点P处的切线与C₂在点Q处的切线平行？如果存在，求出点T的横坐标，如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求函数F（x）的解析式，因为函数F（x）存在单调递减区间，所以F'（x）＜0有解，求出a的取值范围；
（Ⅱ）利用反证法证明设点P、Q的坐标分别是（x₁，y₁），（x₂，y₂），0＜x₁＜x₂．假设C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线平行．求出函数的导数，求得切线的斜率，通过构造函数，求导数判断单调性，结论即可得证

解答 解：（Ⅰ）b=1时，函数F（x）=g（x）-f（x）=1+lnx-$\frac{1}{2}a{x^2}$-x，x＞0，
则F′（x）=$\frac{1}{x}$-ax-1=-$\frac{a{x}^{2}+x-1}{x}$
因为函数F（x）存在单调递减区间，所以F'（x）＜0有解，即ax²+x-1＞0，有x＞0的解．
①a＞0时，y=ax²+x-1为开口向上的抛物线，y=ax²+x-1＞0总有x＞0有解；
②a＜0时，y=ax²+x-1为开口向下的抛物线，而y=ax²+x-1＞0总有x＞0的解；
则△=1+4a＞0，且方程y=ax²+2x-1=0至少有一个正根，此时，$-\frac{1}{4}＜a＜0$．
综上所述，a的取值范围为（-$\frac{1}{4}$，0）∪（0，+∞）；
（Ⅱ）设点M、N的坐标是（x₁，y₁），（x₂，y₂），0＜x₁＜x₂，
则点P、Q的横坐标为$x=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$，
C₁点在P处的切线斜率为${k_1}=\frac{1}{x}{|_{x=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}}=\frac{2}{{{x_1}+{x_2}}}$，
C₂点Q处的切线斜率为${k_2}=ax+b{|_{x=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}}=\frac{{a（{x_1}+{x_2}）}}{2}+b$
假设C₁点P处的切线与C₂在点Q处的切线平行，则k₁=k₂
即$\frac{2}{{{x_1}+{x_2}}}=\frac{{a（{x_1}+{x_2}）}}{2}+b$，则
$\begin{array}{l}\frac{{2（{x_2}-{x_1}）}}{{{x_1}+{x_2}}}=\frac{a}{2}（x_2^2-x_1^2）+b（{x_2}-{x_1}）\\=\frac{a}{2}（x_2^2+b{x_2}）-（\frac{a}{2}x_1^2+b{x_1}）={y_2}-{y_1}=ln{x_2}-ln{x_1}\end{array}$
∴$ln\frac{x_2}{x_1}=\frac{{2（\frac{x_2}{x_1}-1）}}{{1+\frac{x_2}{x_1}}}$．
设$t=\frac{x_2}{x_1}$，则$lnt=\frac{2（t-1）}{1+t}，t＞1$①
令$r（t）=lnt-\frac{2（t-1）}{1+t}，t＞1$．
则$r'（t）=\frac{1}{t}-\frac{4}{{{{（t+1）}^2}}}=\frac{{{{（t-1）}^2}}}{{t{{（t+1）}^2}}}$
因为t＞1时，r'（t）＞0，所以r（t）在（1，+∞）上单调递增．
故r（t）＞r（1）=0
则$lnt＞\frac{2（t-1）}{1+t}$．这与①矛盾，假设不成立．
故C₁在点P处的切线与C₂在点Q处的切线不平行．

点评 本题主要考查导数的几何意义，考查导数是运算，以及利用导数研究函数的性质，综合性较强，运算量较大，考查学生的运算能力．