Question

19．已知不等式xy≤ax²+2y²，若对任意x∈[1，2]及y∈[2，3]，该不等式恒成立，则实数a的范围是（　　）

• A． -$\frac{35}{9}$≤a≤-1
• B． -3≤a≤-1
• C． a≥-1
• D． a≥-3

Answer 1

分析 本题考查的是不等式与恒成立的综合类问题．在解答时，首先可以游离参数将问题转化为：$a≥\frac{y}{x}-2（\frac{y}{x}）^{2}$对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，然后解答此恒成立问题即可获得问题的解答．

解答 解：由题意可知：不等式xy≤ax²+2y²对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，
即：$a≥\frac{y}{x}-2（\frac{y}{x}）^{2}$，对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，
令 $\frac{y}{x}$，则1≤t≤3，
∴a≥t-2t²在[1，3]上恒成立，
∵y=-2t²+t=$-2（t-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{1}{8}$，∴y_max=-1，
∴a≥-1
 故选C．

点评 本题考查的是不等式与恒成立的综合类问题，综合性强，难度大，易出错．在解答的过程当中充分体现了游离参数的办法、恒成立的思想以及整体代换的技巧．值得同学们体会与反思．