Question

8．设函数f（x）=lnx，g（x）=（2-a）（x-1）-2f（x）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数g（x）的单调区间；
（Ⅱ）设F（x）=|f（x）|+$\frac{b}{x+1}$（b＞0）．对任意x₁，x₂∈（0，2]，x₁≠x₂，都有$\frac{F（{x}_{1}）-F（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜-1，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将a=1代入g（x）的表达式，求出g（x）的导数，从而求出函数的单调区间；
（Ⅱ）问题转化为$\frac{F{（x}_{1}）{+x}_{1}-[F{（x}_{2}）{+x}_{2}]}{{x}_{1}{-x}_{2}}$＜0，若设G（x）=F（x）+x，通过讨论①当x∈[1，2]时，②当x∈（0，1）时，G（x）的单调性，从而得到b的范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，g（x）=x-1-2lnx，（x＞0），
∴g′（x）=1-$\frac{2}{x}$=$\frac{x-2}{x}$，
当x∈（0，2）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当x∈（2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
综上，g（x）的递减区间是（0，2），递增区间是（2，+∞）；
（Ⅱ）由题意得：$\frac{F{（x}_{1}）-F{（x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}$+1＜0，即$\frac{F{（x}_{1}）{+x}_{1}-[F{（x}_{2}）{+x}_{2}]}{{x}_{1}{-x}_{2}}$＜0，
若设G（x）=F（x）+x，则G（x）在（0，2]上单调递减，
①当x∈[1，2]时，G（x）=lnx+$\frac{b}{x+1}$+x，G′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{b}{{（x+1）}^{2}}$+1≤0，
b≥$\frac{{（x+1）}^{2}}{x}$+（x+1）²=x²+3x+3+$\frac{1}{x}$，
设G₁（x）=x²+3x+3+$\frac{1}{x}$，则G₁′（x）=2x+3-$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0在（1，2）恒成立，
∴G₁（x）在（1，2]单调递增，
∴b≥G₁（x）_max=G₂（2）=$\frac{27}{2}$；
②当x∈（0，1）时，G（x）=-lnx+$\frac{b}{x+1}$+x，G′（x）=x²+x-$\frac{1}{x}$-1，
设G₂（x）=x²+x-$\frac{1}{x}$-1，则G₂′（x）=2x+1+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
即G₂′（x）=2x+1+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，即G₂（x）在（0，1）单调递增，
故G₂（x）≤G₂（1）=0，
∴b≥0，
综上，由①②可得：b≥$\frac{27}{2}$．

点评 本题考察了函数的单调性，考察导数的应用，（Ⅱ）问中设G（x）=F（x）+x，通过讨论x的范围，得到函数的单调性是解题的关键，本题是一道中档题．