Question

18．设AB为圆O的直径，AB=10．E为线段AO上一点，OE=$\frac{1}{7}$AB．过E作一直线交圆O于C，D两点，使得∠CEA=45°．试求CE²+ED²的值．

Answer 1

分析 利用垂径定理，求出CD，再利用相交弦定理，即可求CE²+ED²的值．

解答 解：∵AB=10，OE=$\frac{1}{7}$AB．作OH⊥CD于H，则OH=$\frac{1}{{\sqrt{2}}}$OE，
CD=2$\sqrt{O{C^2}-O{H^2}}$=$\sqrt{A{B^2}-\frac{2}{49}A{B^2}}$=$\frac{{\sqrt{47}}}{7}$AB…（5分）
由相交弦定理知CE•ED=AE•EB=（$\frac{1}{2}$AB-$\frac{1}{7}$AB）（$\frac{1}{2}$AB+$\frac{1}{7}$AB）=$\frac{45}{196}$AB²．
∴CE²+ED²=（CE+ED）²-2CE•ED=$\frac{47}{49}$AB²-$\frac{45}{98}$AB²=$\frac{1}{2}$AB²=50…（10分）

点评 本题考查垂径定理、相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．