Question

8．命题p：?x∈R，e^x-mx=0，命题q：f（x）=$\frac{1}{3}$x³-mx²-2x在[-1，1]上递减，若（￢p）∧q为真命题，则实数m的取值范围为（　　）

• A． [0，$\frac{1}{2}$]
• B． [-3，0]
• C． [-3，e）
• D． [0，e）

Answer 1

分析 首先求出函数=m=$\frac{{e}^{x}}{x}$的极值，进一步利用导数求出函数f（x）在[-1，1]递减的充要条件，最后利用p假q真求出m的交集即可．

解答 解：命题p：?x∈R，e^x-mx=0，
则：m=$\frac{{e}^{x}}{x}$，
设g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，
则：g′（x）=$\frac{（x-1）{e}^{x}}{{x}^{2}}$
当x＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）为单调递增函数．
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）为单调递减函数．
当x＜0时，g′（x）＜0，函数g（x）为单调递减函数．
所以：当x=1时函数g（x）取极小值，g（1）=e．
所以：函数g（x）的值域为：（-∞，0）∪[e，+∞）．
即：m∈（-∞，0）∪[e，+∞）．
命题q：f（x）=f（x）=$\frac{1}{3}$x³-mx²-2x-mx²-2x在[-1，1]递减，
所以：f′（x）=x²-2mx-2
由于函数f（x）在[-1，1]递减，
所以：$\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）≤0}\\{f′（1）≤0}\end{array}\right.$，
解得：$-\frac{1}{2}$≤m≤$\frac{1}{2}$，
由（￢p）∧q为真命题，
则：p假q真，
所以$\left\{\begin{array}{l}{0≤m＜e}\\{-\frac{1}{2}≤m≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$：，
解得0≤m≤$\frac{1}{2}$：
故选：A

点评 本题考查的知识要点：利用函数的导数求函数的单调区间和极值，主要考查学生的应用能力，属于中档题．