Question

18．若函数f（x）=ax³+ax²+x-1在实数R上是增函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [-1，2]
• B． [0，3]
• C． [2，5]
• D． （0，3）

Answer 1

分析 方法一验证法：可以用验证法，逐一排除选项．
方法二直接法：对f（x）求导由函数在R上是增函数知，f'（x）≥0在R上恒成立，求出a的取值范围即可．

解答 解：由题意知，f'（x）=3ax²+2ax+1≥0在R上恒成立．
方法一：（验证法）当a=0时，f'（x）=1＞0恒成立，则a=0满足条件，排除C，D．当a=3时，f'（x）=9x²+6x+1=（3x+1）²≥0恒成立．故a=3也满足条件，排除A．选B
方法二：（直接法）当a=0时，f'（x）=1＞0恒成立，则a=0满足条件．当a≠0时，要满足条件，需要满足$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{（2a）^{2}-4×3a×1≤0}\end{array}\right.$
解得：0＜a≤3．综上，0≤a≤3．选B
故选：B

点评 本题主要考查利用函数导数的性质求参数的取值范围，属常考题型，基础题型．