Question

9．已知S_n为数列{a_n}的前n项和，2a_n-n=S_n，求数列{a_n}的通项公式2ⁿ-1．

Answer 1

分析 由数列递推式求得数列首项，然后构造出等比数列{a_n+1}，由等比数列的通项公式得答案．

解答 解：由2a_n-n=S_n，得2a₁-1=a₁，解得a₁=1．
又2a_n-1-（n-1）=S_n-1（n≥2），
两式作差得a_n=2a_n-1+1，即a_n+1=2（a_n-1+1）（n≥2），
∵a₁+1=2，∴{a_n+1}是以2为首项，以2为公差的等差数列，
则${a}_{n}+1={2}^{n}$，即${a}_{n}={2}^{n}-1$．
故答案为：2ⁿ-1．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了等比数列的通项公式，是中档题．