Question

17．已知f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，且2＜p＜q．，求证：对于x∈（p，q），有$\frac{f（x）-f（p）}{x-p}$＞$\frac{f（x）-f（q）}{x-q}$．

Answer 1

分析 先求导，利用导数判断出函数f（x）的单调性，得到f（x）在（2，+∞）上单调递增，分别设A点的坐标为（x，f（x）），B为（p，f（p）），C（q，f（q）），利用斜率即可证明．

解答 解：∵f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，解得x=1，
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∵2＜p＜q，
∴f（x）在（2，+∞）上单调递增，
如图所示，
设A点的坐标为（x，f（x）），B为（p，f（p）），C（q，f（q）），
则k_AB=$\frac{f（x）-f（p）}{x-p}$，k_AC=$\frac{f（x）-f（q）}{x-q}$．
由图象可知k_AB＞k_AC，
∴对于x∈（p，q），有$\frac{f（x）-f（p）}{x-p}$＞$\frac{f（x）-f（q）}{x-q}$．

点评 本题考查导数和函数单调性的关系，以及有关直线的斜率问题，属于中档题．