Question

5．若函数y=a^x-2+1（a＞0且a≠1）的图象经过定点 P（m，n），且过点Q（m-1，n）的直线l被圆C：x²+y²+2x-2y-7=0截得的弦长为3$\sqrt{2}$，则直线l的斜率为-1或-7．

Answer 1

分析 由题意，P（2，2），Q（1，2），设l：y-2=k（x-1），即kx-y+2-k=0，将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和圆的半径r，由弦长及半径，利用垂径定理及勾股定理求出圆心到直线l的距离d，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即为直线l的斜率．

解答 解：由题意，P（2，2），Q（1，2），设l：y-2=k（x-1），即kx-y+2-k=0，
圆C：x²+y²+2x-2y-7=0可化为（x+1）²+（y-1）²=9，
圆心C（-1，1）到l的距离d=$\frac{|-k-1+2-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{3}{2}\sqrt{2}）^{2}}$，
∴k²+8k+7=0，k=-1或-7．
故答案为：-1或-7．

点评 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，以及直线的点斜式方程，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造至直角三角形，利用勾股定理来解决问题．