Question

15．“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．
（1）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关；说明你的理由；（下面的临界值表供参考）

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.010	0.005
k0	2.706	3.841	6.635	7.879

（2）现计划在这次场外调查中按年龄段选取9名选手，并抽取3名幸运选手，求3名幸运选手中在20～30岁之间的人数的分布列和数学期望．
（参考公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （1）利用已知条件直接写出2×2列联表；求出K²，即可判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关；
（2）设3名选手中在20～30岁之间的人数为ξ，可能取值为0，1，2，3，20～30岁之间的人数是3人，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．

解答 解：（1）

年龄/正误	正确	错误	合计
20～30	10	30	40
30～40	10	70	80
合计	20	100	120

$k=\frac{{120{{（70×10-30×10）}^2}}}{20×100×40×80}=3＞2.706$
有90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关．------（4分）
（2）设3名选手中在20～30岁之间的人数为ξ，可能取值为0，1，2，3----（5分）
20～30岁之间的人数是3人--------------（6分）
$P（ξ=0）=\frac{C_6^3}{C_9^3}=\frac{20}{84}=\frac{5}{21}$，
$P（ξ=1）=\frac{C_6^2C_3^1}{C_9^3}=\frac{45}{84}=\frac{15}{28}$，
$P（ξ=2）=\frac{C_6^1C_3^2}{C_9^3}=\frac{18}{84}=\frac{3}{14}$，
$P（ξ=3）=\frac{C_3^3}{C_9^3}=\frac{1}{84}$-------（10分）

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{5}{21}$	$\frac{15}{28}$	$\frac{3}{14}$	$\frac{1}{84}$

--------------------（11分）
E（ξ）=$0×\frac{5}{21}+1×\frac{15}{28}+2×\frac{3}{14}+3×\frac{1}{84}$=1------（12分）

点评 本题考查对立检验以及离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．