Question

20．在直角坐标系xoy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2-\sqrt{2}t}\\{y=-1+\sqrt{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数），以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为$ρ=\frac{2}{{\sqrt{1+3{{sin}^2}θ}}}$
（1）求曲线C₁的普通方程与曲线C₂的直角坐标方程；
（2）设点M（2，-1），曲线C₁与曲线C₂交于A，B，求|MA|•|MB|的值．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2-\sqrt{2}t}\\{y=-1+\sqrt{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数），两式相加消去参数t即可化为普通方程；由曲线C₂的极坐标方程为$ρ=\frac{2}{{\sqrt{1+3{{sin}^2}θ}}}$，平方化为ρ²+3ρ²sin²θ=4，利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化为直角坐标方程．（2）将$\left\{\begin{array}{l}x=2-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（{t为参数}）$代入C₂直角坐标方程得$5{t^2}-12\sqrt{2}t+8=0$，利用MA|•|MB|=t₁•t₂即可得出．

解答 解：（1）曲线C₁的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2-\sqrt{2}t}\\{y=-1+\sqrt{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数），消去参数t化为x+y=1；
由曲线C₂的极坐标方程为$ρ=\frac{2}{{\sqrt{1+3{{sin}^2}θ}}}$，平方化为ρ²+3ρ²sin²θ=4，∴x²+4y²=4，化为直角坐标方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）将$\left\{\begin{array}{l}x=2-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（{t为参数}）$代入C₂直角坐标方程得$5{t^2}-12\sqrt{2}t+8=0$，
∴${t_1}•{t_2}=\frac{8}{5}$，
∴MA|•|MB|=${t_1}•{t_2}=\frac{8}{5}$．

点评 本题考查了参数方程化为直角坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．