Question

16．已知函数f（x）=（x-a）²e^x，g（x）=x³-x²-3，其中a∈R．
（1）若存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，求实数M的最大值；
（2）若对任意的s，t∈[0，2]，都有f（s）≥g（t），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意知要使不等式g（x₁）-g（x₂）≥M成立，需要M比左边的最小值即可，要求g（x₁）-g（x₂）的最小值，只需求g（x）在[0，2]上的最小值与最大值然后作差．
（2）由题意知，应求g（t）的最大值，f（s）的最小值，在求f（s）的最小值时，令f'（x）=e^x（x-a）（x-a+2）=0得x=a，或x=a-2，根据a，a-2与区间[0，2]的关系分情况讨论．

解答 解：（1）$g'（x）=3x（x-\frac{2}{3}）$，x∈[0，2]．令g'（x）=0，得x₁=0，${x_2}=\frac{2}{3}$．
当$x∈[0，\frac{2}{3}）$时，g'（x）＜0，当$x∈[\frac{2}{3}，2]$时，g'（x）＞0，
所以[g（x）]_max=max{g（0），g（2）}=g（2）=1，${[g（x）]_{min}}=g（\frac{2}{3}）=-\frac{85}{27}$．
因为存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立．
所以$M≤{[g（x）]_{max}}-{[g（x）]_{min}}=\frac{112}{27}$．所以实数M的最大值为$\frac{112}{27}$．
（2）由（1）知，在[0，2]上，[g（x）]_max=g（2）=1，
所以f（x）_min≥1．f'（x）=e^x（x-a）（x-a+2）．
（ⅰ）当a≤0或a≥4时，在[0，2]上，f'（x）≥0，f（x）是单调增函数．
所以$f{（x）_{min}}=f（0）={a^2}≥1$，解得a≤-1或a≥1．所以a≤-1或a≥4．
（ⅱ）当0＜a＜2时，在[0，a]上，f'（x）≤0，f（x）是单调减函数；
在[a，2]上，f'（x）≥0，f（x）是单调增函数．所以f（x）_min=f（a）=0≥1，不成立．
（ⅲ）当2＜a＜4时，在[0，a]上，f'（x）≥0，f（x）是单调增函数；
在[a，2]上，f'（x）≤0，f（x）是单调减函数．
所以f（0）=a²≥1且 f（2）=（2-a）²e²≥1，又2＜a＜4，可得$2+\frac{1}{e}≤a＜4$．
（ⅳ）当a=2时，在[0，2]上，f'（x）≤0，f（x）是单调减函数．
$f{（x）_{min}}=f（2）={（2-a）^2}{e^2}=0≥1$，不成立．
综上，实数a的取值范围是$（-∞，-1]∪[2+\frac{1}{e}，+∞）$．

点评 本题考查导数的几何意义；利用导函数求函数的最值；分类讨论思想的应用．考查分析问题解决问题的能力．