Question

6．已知点P为椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上一点，点F₁，F₂分别为椭圆的左、右焦点，点I为△PF₁F₂的内心，若△PIF₁和△PIF₂的面积和为1，则△IF₁F₂的面积为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 设|PF₁|=m，|PF₂|=n，内切圆的半径长为r，则S₁=$\frac{1}{2}$mr，S₂=$\frac{1}{2}$nr，S₃=$\frac{1}{2}$•2cr，求得椭圆的a，b，c，由题可得r=$\frac{2}{m+n}$=$\frac{1}{2}$，即可得到所求面积．

解答 解：设|PF₁|=m，|PF₂|=n，内切圆的半径长为r，
设△PIF₁和△PIF₂及△IF₁F₂的面积分别为S₁，S₂，S₃，
则S₁=$\frac{1}{2}$mr，S₂=$\frac{1}{2}$nr，S₃=$\frac{1}{2}$•2cr，
椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的a=2，b=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=1，
由椭圆定义可得m+n=2a=4，
由△PIF₁和△PIF₂的面积和为1，
即有S₁+S₂=1，即r=$\frac{2}{m+n}$=$\frac{1}{2}$，
即有S₃=$\frac{1}{2}$•2cr=cr=r=$\frac{1}{2}$．
故选B．

点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义的运用，考查运算能力，属于中档题．