Question

17．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠ADB=90°，AB=2AD．
（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PBD；
（Ⅱ）若PD=AD=1，$\overrightarrow{PE}$=2$\overrightarrow{EB}$，求二面角P-AD-E的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据面面垂直的判定定理即可证明平面PBD⊥平面PAD；
（Ⅱ）以D为原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴建立直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求出二面角的平面角．

解答 （Ⅰ）证明：∵PD⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，
∴PD⊥BD…（2分）
∵∠ADB=90°，∴AD⊥BD…（3分）
∵AD∩PD=D
∴BD⊥平面PAD…（5分）
∵BD?平面PBD，
∴平面PAD⊥平面PBD…（7分）
（Ⅱ）解：以D为原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴建立直角坐标系
D（0，0，0），P（0，0，1），A（1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），
设P（0，x，y），∵$\overrightarrow{PE}=2\overrightarrow{EB}$，∴$E（0，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，\frac{1}{3}）$…（9分）
∵BD⊥平面PAD，∴平面PAD的一个法向量$\overrightarrow{n_1}=（0，1，0）$…（10分）
设平面ADE的一个法向量$\overrightarrow{n_2}=（x，y，z）$，
$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{DE}=0\\ \overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{DA}=0\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}\frac{{2\sqrt{3}}}{3}y+\frac{1}{3}z=0\\ x=0\end{array}\right.$，∴$x=0，y=1，z=-2\sqrt{3}$
解得$\overrightarrow{n_2}=（0，1，-2\sqrt{3}）$…（13分）
设α为所求的角，cosα=$\frac{1}{1×\sqrt{13}}$=$\frac{\sqrt{13}}{13}$…（15分）

点评 本题主要考查空间面面垂直的判定以及空间二面角的求解，利用向量法进行求解是解决空间二面角的常用方法