Question

7．已知点M（a，b）在直线3x+4y=15上，则$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-2a-2b+2}$的最小值为$\frac{8}{5}$．

Answer 1

分析 由于$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-2a-2b+2}$  表示直线3x+4y=15上点M（a，b）与点N（1，1）之间的距离，故它的最小值为点N到直线3x+4y=15的距离，再利用点到直线的距离公式求得结果．

解答 解：由题意可得3a+4b=15，则$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-2a-2b+2}$=$\sqrt{{（a-1）}^{2}{+（b-1）}^{2}}$ 表示直线3x+4y=15上点M（a，b）与点N（1，1）之间的距离，
故它的最小值为点N到直线3x+4y=15的距离，为$\frac{|3+4-15|}{\sqrt{9+16}}$=$\frac{8}{5}$，
故答案为：$\frac{8}{5}$．

点评 本题主要考查两点间的距离公式、点到直线的距离公式的应用，属于基础题．