Question

19．已知函数f（x）=e^x-aln（x+1）-1在点P（0，f（0））处的切线垂直于y轴．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当m＞n＞0时，求证；e^m-n-1＞ln（m+1）-ln（n+1）

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由题意可得k=f′（0）=e⁰-a=0，解得a=1，再由导数，解不等式即可得到单调区间；
（2）当m＞n＞0时，由f（x）在（0，+∞）递增，可得f（m-n）＞f（0）=0，即为e^m-n-1＞ln（1+m-n），判断ln（1+m-n）-ln（1+m）+ln（1+n）的符号，运用对数的运算性质和不等式的性质，即可得证．

解答 解：（1）函数f（x）=e^x-aln（x+1）-1的导数f′（x）=e^x-$\frac{a}{x+1}$，
由题意可得在点P（0，f（0））处的切线斜率为k=f′（0）=e⁰-a=0，
解得a=1，
即有f（x）=e^x-ln（x+1）-1，f′（x）=e^x-$\frac{1}{x+1}$，
由f′（x）＞0，可得x＞0，由f′（x）＜0，可得-1＜x＜0，
则f（x）的单调增区间为（0，+∞），减区间为（-1，0）；
（2）证明：当m＞n＞0时，由f（x）在（0，+∞）递增，可得
f（m-n）＞f（0）=0，
即为e^m-n-1＞ln（1+m-n），
由ln（1+m-n）-ln（1+m）+ln（1+n）=ln$\frac{（1+m-n）（1+n）}{1+m}$
=ln（1+$\frac{n（m-n）}{1+m}$）＞ln1=0，
即有ln（1+m-n）＞ln（1+m）-ln（1+n），
则有当m＞n＞0时，e^m-n-1＞ln（m+1）-ln（n+1）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，同时考查不等式的证明，运用函数的单调性和对数的运算性质是解题的关键．