Question

11．已知函数f（x）=$\frac{a}{x}$+xlnx，g（x）=x³-$\frac{1}{2}$mx²+n，若函数y=g（x）的图象经过点M（1，-3），且在点M处的切线恰好与直线x+y-3=0垂直．
（1）求m，n的值；
（2）求函数y=g（x）在[0，2]上最大值和最小值；
（3）如果对任意s，t∈[$\frac{1}{2}$，2]都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）代入点（1，-3）可得1-$\frac{1}{2}$m+n=-3，求得g（x）的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得斜率为1，解方程可得m，n；
（2）求导，由导数确定函数在[0，2]上的单调性，由单调性求最值；
（3）由（1）知，在区间[$\frac{1}{2}$，2]上，g_max（x）=g（2）=1；从而原问题等价于当x∈[$\frac{1}{2}$，2]时，f（x）=$\frac{a}{x}$+xlnx≥1恒成立，用分离系数法可得a≥x-x²lnx恒成立，从而转化为求函数h（x）=x-x²lnx在区间[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值，利用求导求单调性，再求最值即可．

解答 解：（1）y=g（x）的图象经过点M（1，-3），即有1-$\frac{1}{2}$m+n=-3，
又g′（x）=3x²-mx，
g（x）在点M处的切线恰好与直线x+y-3=0垂直，则有3-m=1，
解得m=2，n=-3；
（2）对于函数g（x）=x³-x²-3，x∈[0，2]，
g′（x）=3x²-2x，
令g′（x）=0，得x=0或x=$\frac{2}{3}$；
当x变化时，g（x）、g′（x）变化情况如下表：

x	0	（0，$\frac{2}{3}$）	$\frac{2}{3}$	（$\frac{2}{3}$，2）	2
g′（x）	0	-	0	+	+
g（x）	-3	递减	极（最）小值-$\frac{85}{27}$	递增	1

由上表可知：g_min（x）=-$\frac{85}{27}$，g_max（x）=g（2）=1，
（3）由（1）知，在区间[$\frac{1}{2}$，2]上，g_max（x）=g（2）=1．
则原问题等价于当x∈[$\frac{1}{2}$，2]时，f（x）=$\frac{a}{x}$+xlnx≥1恒成立，
等价于a≥x-x²lnx恒成立，
记h（x）=x-x²lnx，h′（x）=1-2xlnx-x，h′（1）=0；
记m（x）=1-2xlnx-x，m′（x）=-3-2lnx，
∵x∈[$\frac{1}{2}$，2]，
∴m′（x）=-3-2lnx＜0，
∴m（x）=1-2xlnx-x在[$\frac{1}{2}$，2]上递减，
且当x∈[$\frac{1}{2}$，1）时，h′（x）＞0，x∈（1，2]时，h′（x）＜0，
即函数h（x）=x-x²lnx在区间[$\frac{1}{2}$，1）上递增，在区间（1，2]上递减，
∴h_max（x）=h（1）=1，
∴a≥1．

点评 本题考查了导数的综合应用，同时考查了恒成立问题的处理方法，化简比较困难，属于中档题．