Question

15．在平面直角坐标系中，O为原点A（-1，0），B（0，$\sqrt{5}$），C（3，0），动点D满足|$\overrightarrow{CD}$|=1，则|$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}$|的最大值是4．

Answer 1

分析 设D（x，y），由题意和两点之间的距离公式求出动点D的轨迹方程和轨迹，由向量的坐标运算求出$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}$的坐标，再判断出$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}|$的几何意义，并求出最大值．

解答 解：设D（x，y），
因为C（3，0），动点D满足|$\overrightarrow{CD}$|=1，
所以（x-3）²+y²=1，
则动点D的轨迹是以（3，0）为圆心、以1为半径的圆，
由A（-1，0），B（0，$\sqrt{5}$）得，$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}$=（x-1，y+$\sqrt{5}$），
则$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}|$的几何意义是点（1，-$\sqrt{5}$）到圆（x-3）²+y²=1上的点的距离，
因为点（1，-$\sqrt{5}$）在圆外，所以$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}|$的最大值是：$\sqrt{{（1-3）}^{2}+{（-\sqrt{5}）}^{2}}$+1=4，
故答案为：4．

点评 本题考查了向量的坐标运算，两点之间的距离公式，动点的轨迹方程，以及代数式子的几何意义，属于中档题．