Question

11．已知函数f（x）=|x+a|+2|x+1|．
（Ⅰ）当a=-1时，求不等式f（x）＞5的解集；
（Ⅱ）若f（x）＞|x+1|+3a-7恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=-1时，不等式f（x）＞5等价变形，可得结论；
（Ⅱ）若f（x）＞|x+1|+3a-7恒成立，即为|x+a|+|x+1|＞3a-7|恒成立，利用|x+a|+|x+1|≥|a-1|，求实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=-1时，不等式f（x）＞5可化为
$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-3x＞6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤1}\\{x＞2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{3x＞4}\end{array}\right.$，…（3分）
解得x＜-2或x＞$\frac{4}{3}$，
∴不等式f（x）＞5的解集为{x|x＜-2或x＞$\frac{4}{3}$}．…（5分）
（Ⅱ）原不等式即为|x+a|+|x+1|＞3a-7|恒成立，
∵|x+a|+|x+1|≥|a-1|，…（8分）
∴|a-1|＞3a-7，解得a＜3…（10分）

点评 本题考查绝对值不等式，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．