Question

5．△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2A=3cos（B+C）+1．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若cosBcosC=-$\frac{1}{8}$，且△ABC的面积为2$\sqrt{3}$，求a．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据余弦函数的倍角公式，进行化简即可求角A的大小；
（Ⅱ）根据余弦定理以及三角形的面积公式进行化简求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由cos2A=3cos（B+C）+1得，2cos²A+3cosA-2=0，
即（2cosA-1）（cosA+2）=0，
所以，cosA=$\frac{1}{2}$或cosA=-2（舍去），
因为A为三角形内角，所以A=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cosA=-cos（B+C）=$\frac{1}{2}$，
则cosBcosC-sinBsinC=$-\frac{1}{2}$；
由cosBcosC=-$\frac{1}{8}$，得sinBsinC=$\frac{3}{8}$，
由正弦定理，有$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
即b=$\frac{2asinB}{\sqrt{3}}$，c=$\frac{2asinC}{\sqrt{3}}$，
由三角形的面积公式，
得S=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{{a}^{2}sinBsinC}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}{a}^{2}$，
即$\frac{\sqrt{3}}{8}{a}^{2}$=2$\sqrt{3}$，
解得a=4．

点评 本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理和余弦定理是解决本题的关键．