Question

20．如题图，已知函数$f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的图象与y的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点之间的距离为2$\sqrt{4+{π^2}}$．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若f（2B+$\frac{2π}{3}$）=$\frac{2}{3}$，b=$\sqrt{3}$，求$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据三角函数图象确定A，ω和φ的值即可求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求出sinB和cosB的值，结合向量数量积以及余弦定理进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由图象可知A=2，${4}^{2}+（\frac{T}{2}）^{2}$=（2$\sqrt{4+{π^2}}$）²，
即T=4π=$\frac{2π}{ω}$，
解得ω=$\frac{1}{2}$，
即f（x）=2sin（$\frac{1}{2}x$+φ），
∵f（0）=1，∴2sinφ=1，
即sinφ=$\frac{1}{2}$，
∵|φ|$＜\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，
即f（x）=2sin（$\frac{1}{2}x$+$\frac{π}{6}$），即f（x）的解析式为f（x）=2sin（$\frac{1}{2}x$+$\frac{π}{6}$）；
（Ⅱ）由于f（2B+$\frac{2π}{3}$）=$\frac{2}{3}$，即cosB=$\frac{1}{3}$，sinB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
又cosB=$\frac{1}{3}=\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-3}{2ac}≥\frac{2ac-3}{2ac}$，
即4ac≤9，ac≤$\frac{9}{4}$，当且仅当a=c取得号，
则$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=accosB≤$\frac{9}{4}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{3}{4}$，
即$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$的最大值为$\frac{9}{4}$．

点评 本题主要考查三角函数解析式的求解以及向量数量积的计算，利用余弦定理进行求解是解决本题的关键．