Question

8．空间直角坐标系中，已知原点为O，A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），在三棱锥O-ABC中任取一点P（x，y，z），则满足$\sqrt{{x^2}+{y^2}+{z^2}}≤\frac{1}{2}$的概率是（　　）

• A． $\frac{π}{4}$
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{π}{8}$
• D． $\frac{π}{10}$

Answer 1

分析 根据几何概型的概率公式分别求出对应的体积进行求解即可．

解答 解：∵原点为O，A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），
∴三棱锥O-ABC中的体积V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{1}{6}$，
$\sqrt{{x^2}+{y^2}+{z^2}}≤\frac{1}{2}$对应的轨迹为以O为球心，半径r=$\frac{1}{2}$的球体积的$\frac{1}{8}$，
则体积V=$\frac{1}{8}×$$\frac{4}{3}×π×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{π}{24}$，
则对应的概率P=$\frac{\frac{π}{24}}{\frac{1}{6}}$=$\frac{π}{4}$，
故选：A

点评 本题主要考查几何概型的概率公式的应用，根据条件求出对应的体积是解决本题的关键．