Question

10．已知数列{a_n}满足：a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n，n∈N^*．
（Ⅰ）求证：数列{a_n-1}是等比数列；
（Ⅱ）令b_n=（2-n）（a_n-1）（n∈N^*），若对于?n∈N^*，都有b_n≤$\frac{1}{4}$sinx，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据数列的递推关系，结合等比数列的定义进行构造即可证明数列{a_n-1}是等比数列；
（Ⅱ）先求出数列{a_n}的通项公式，判断数列{b_n}的单调性和最值将不等式进行转化即可得到结论．

解答 证明：（Ⅰ）∵a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n，n∈N^*．
∴a₁+a₂+a₃+…+a_n+1=n+1-a_n+1，n∈N^*．
两式相减得a_n+1=1-a_n+1+a_n，
即2a_n+1=1+a_n，
则a_n+1-1=$\frac{1}{2}$（a_n-1），
即数列{a_n-1}是等比数列，公比q=$\frac{1}{2}$；
当n=1时，a₁=1-a₁，解得a₁=$\frac{1}{2}$，
则首项a₁-1=$\frac{1}{2}-1$=$-\frac{1}{2}$，
即数列{a_n-1}是等比数列成立；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n-1=$-\frac{1}{2}$$•（\frac{1}{2}）^{n-1}$=-（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
则b_n=（2-n）（a_n-1）=$\frac{n-2}{{2}^{n}}$，
则b_n+1-b_n=$\frac{n+1-2}{{2}^{n+1}}$-$\frac{n-2}{{2}^{n}}$=$\frac{3-n}{{2}^{n+1}}$，
当n＜3时，b_n+1-b_n＞0，即b₁＜b₂＜b₃，
当n=3时，b_n+1=b_n，即b₃=b₄，
当n＞3时，b_n+1-b_n＜0，即b₄＞b₅＞b₆…，
∴{b_n}的最大项为b₃=b₄=$\frac{1}{8}$，
若对于?n∈N^*，都有b_n≤$\frac{1}{4}$sinx，则等价为若对于?n∈N^*，都有（b_n）_max≤$\frac{1}{4}$sinx，
即$\frac{1}{8}$≤$\frac{1}{4}$sinx，
即sinx$≥\frac{1}{2}$，即2kπ≤x≤2kπ，2kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
即实数x的取值范围是{x|2kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z}．

点评 本题主要考查等比数列的判断以及递推数列的应用，考查学生的运算和推理能力．