Question

20．若实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2≤0}\\{x+2y-4≥0}\\{x-3y+11≥0}\end{array}\right.$，则x，y所表示的区域的面积为$\frac{5}{2}$，若x，y同时满足（t+1）x+（t+2）y+t=0，则实数t的取值范围为[-2，-$\frac{4}{3}$]．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，求出三角形的交点坐标进行求解，求出（t+1）x+（t+2）y+t=0过定点，结合图象建立条件关系即可得到结论．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2=0}\\{x-3y+11=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$，即C（1，4），
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-4=0}\\{x-3y+11=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（-2，3），
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2=0}\\{x+2y-4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$，即B（0，2），
令x=0．得y=$\frac{11}{3}$，即D（0，$\frac{11}{3}$），
即AD=$\frac{11}{3}$-2=$\frac{5}{3}$
则区域面积S=$\frac{1}{2}×$$\frac{5}{3}$×2+$\frac{1}{2}×$$\frac{5}{3}$×1=$\frac{5}{2}$．
由（t+1）x+（t+2）y+t=0得t（x+y+1）+x+2y=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y+1=0}\\{x+2y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=1}\end{array}\right.$，即（t+1）x+（t+2）y+t=0过定点M（-2，1），
则由图象知A，B两点在直线两侧和在直线上即可，
即[2（t+2）+t][-2（t+1）+3（t+2）+t]≤0，
即（3t+4）（2t+4）≤0，
解得-2≤t≤-$\frac{4}{3}$，
即实数t的取值范围为是[-2，-$\frac{4}{3}$]，
故答案为：$\frac{5}{2}$；[-2，-$\frac{4}{3}$]．

点评 本题主要考查线性规划的应用以及三角形面积的计算，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．