Question

4．已知点O是正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线AC的中点，过B′作B′H⊥D′O于点H，求证：B′H⊥平面ACD′．

Answer 1

分析 连结BD，AC交点即为O，连结BD，先利用线面垂直的性质证明出AC⊥BB′，然后推断出AC⊥BD，进而利用线面垂直的判定定理证明出AC⊥面BDD′B′，则可推断出AC⊥B′H，进而根据已知条件和线面垂直的判定定理证明出B′H⊥平面ACD′．

解答 证明：连结BD，AC交点即为O，连结BD，
由题意知BB′⊥面ABCD，
∵AC?面ABCD，
∴AC⊥BB′，
∵ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，
∵BD?面ABCD，BB′?面ABCD，BD∩BB′=B，
∴AC⊥面BDD′B′，
∵B′H?面BDD′B′，
∴AC⊥B′H，
∵B′H⊥D′O，D′O?平面ACD′，AC平面ACD′，AC∩OD=O，
∴B′H⊥平面ACD′．

点评 本题主要考查了线面垂直的判定定理的运用．要求学生能熟练掌握判定定理的内容并能灵活运用．