Question

16．若角β的终边上一点A（-5，m），且tanβ=-5，则m=25，并求β的其它三角函数值．思考：若tan（cosθ）cot（sinθ）＞0，试指出θ所在象限，并指出$\frac{θ}{2}$所在象限．

Answer 1

分析 由正切函数的定义结合tanβ=-5求得m值，得到A到原点距离，再由正弦函数和余弦函数的定义求得β的其它三角函数值；由tan（cosθ）cot（sinθ）＞0分类得到$\left\{\begin{array}{l}{0＜cosθ＜1}\\{0＜sinθ＜1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1＜cosθ＜0}\\{-1＜sinθ＜0}\end{array}\right.$，再对θ分类得答案．

解答 解：由β的终边上一点A（-5，m），且tanβ=-5，得tanβ=$-\frac{m}{5}=-5$，∴m=25；
则|OA|=$\sqrt{（-5）^{2}+（25）^{2}}=\sqrt{650}$．
∴$sinβ=\frac{25}{\sqrt{650}}=\frac{25\sqrt{650}}{650}$=$\frac{5\sqrt{26}}{26}$，
cosβ=$-\frac{5}{\sqrt{650}}=-\frac{\sqrt{26}}{26}$；
由tan（cosθ）cot（sinθ）＞0，得
$\left\{\begin{array}{l}{tan（cosθ）＞0}\\{cot（sinθ）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{tan（cosθ）＜0}\\{cot（sinθ）＜0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜cosθ＜1}\\{0＜sinθ＜1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1＜cosθ＜0}\\{-1＜sinθ＜0}\end{array}\right.$．
即θ在第一或第三象限．
若θ在第一象限，即2kπ$＜θ＜\frac{π}{2}+2kπ$（k∈Z），则kπ＜$\frac{θ}{2}$$＜\frac{π}{4}+kπ$（k∈Z），在第一、第三象限；
若θ在第三象限，即2kπ-π$＜θ＜-\frac{π}{2}+2kπ$（k∈Z），则kπ$-\frac{π}{2}$＜$\frac{θ}{2}＜-\frac{π}{4}+kπ$（k∈Z），在第二、第四象限．
故答案为：25．

点评 本题考查三角函数的定义，考查三角函数的象限符号，考查正弦函数和余弦函数的值域，是中档题．