Question

7．数列{a_n}满足a₁=1，且8a_n•a_n+1-16a_n+1+2a_n+5=0（n≥1），求a_n．

Answer 1

分析 由${a}_{n+1}=-\frac{2{a}_{n}+5}{8{a}_{n}-16}$，求这个式子的不动点x，得到{$\frac{{a}_{n}-\frac{1}{2}}{{a}_{n}-\frac{5}{4}}$}是以-2为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，从而求出a_n的通项公式．

解答 解：∵8a_n•a_n+1-16a_n+1+2a_n+5=0（n≥1），
∴${a}_{n+1}=-\frac{2{a}_{n}+5}{8{a}_{n}-16}$，求这个式子的不动点x，有x=-$\frac{2x+5}{8x-16}$，
解得x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=$\frac{5}{4}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}-\frac{1}{2}}{{a}_{n+1}-\frac{5}{4}}$=$\frac{-\frac{2{a}_{n}+5}{8{a}_{n}-16}-\frac{1}{2}}{-\frac{2{a}_{n}+5}{8{a}_{n}-16}+\frac{5}{4}}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{{a}_{n}-\frac{1}{2}}{{a}_{n}-\frac{5}{4}}$，
∵a₁=1，∴{$\frac{{a}_{n}-\frac{1}{2}}{{a}_{n}-\frac{5}{4}}$}是以-2为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
∴$\frac{{a}_{n}-\frac{1}{2}}{{a}_{n}-\frac{5}{4}}$=-2×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴${a}_{n}=\frac{3}{{2}^{n}+4}+\frac{1}{2}$

点评 本题主要考查数列的递推式，属于中档题，在数列大题中常见．