Question

18．已知抛物线C₁：y²=2px上一点M（3，y₀）到其焦点F的距离为4；椭圆C₂：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且过抛物线的焦点F．
（Ⅰ）求抛物线C₁和椭圆C₂的标准方程；
（Ⅱ）过点F的直线l₁交抛物线C₁于A、B两不同点，交y轴于点N，已知$\overrightarrow{NA}=λ\overrightarrow{AF}，\overrightarrow{NB}=μ\overrightarrow{BF}$，求证：λ+μ为定值．
（Ⅲ）直线l₂交椭圆C₂于P，Q两不同点，P，Q在x轴的射影分别为P′，Q′，$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{OP'}•\overrightarrow{OQ'}$+1=0，若点S满足：$\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}$，证明：点S在椭圆C₂上．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用抛物线${C_1}：{y^2}=2px$上一点M（3，y₀）到其焦点F的距离为4；求出p，即可得到抛物线方程，通过椭圆的离心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且过抛物线的焦点F（1，0）求出a，b，即可得到椭圆的方程．
（Ⅱ）直线l₁的斜率必存在，设为k，设直线l与椭圆C₂交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出直线l的方程为y=k（x-1），N（0，-k），联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理以及判别式，通过向量关系式即可求出λ+μ为定值．
（Ⅲ）设P（x_p，y_p），Q（x_Q，y_Q），可得S（x_p+x_Q，y_p+y_Q），通过$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{O{P^'}}•\overrightarrow{O{Q^'}}+1=0$转化证明即可．

解答 解：（Ⅰ）抛物线${C_1}：{y^2}=2px$上一点M（3，y₀）到其焦点F的距离为4；
抛物线的准线为$x=-\frac{p}{2}$
抛物线上点M（3，y₀）到其焦点F的距离|MF|等于到准线的距离d
所以$d=3+\frac{p}{2}=4$，所以p=2
抛物线C₁的方程为y²=4x
椭圆${C_2}：\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且过抛物线的焦点F（1，0）
所以b=1，${e^2}=\frac{1}{2}=\frac{c^2}{a^2}=\frac{{{a^2}-1}}{a^2}$，解得a²=2
所以椭圆的标准方程为$\frac{y^2}{2}+\frac{x^2}{1}=1$
（Ⅱ）直线l₁的斜率必存在，设为k，设直线l与椭圆C₂交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则直线l的方程为y=k（x-1），N（0，-k）
联立方程组：$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ y=k（x-1）\end{array}\right.$所以k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
△=16k²+16＞0，所以$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=\frac{{2{k^2}+4}}{k^2}\\{x_1}{x_2}=1\end{array}\right.$（*）      
由$\overrightarrow{NA}=λ\overrightarrow{AF}，\overrightarrow{NB}=μ\overrightarrow{BF}$得：λ（1-x₁）=x₁，λ（1-x₂）=x₂得：$λ=\frac{x_1}{{1-{x_1}}}，μ=\frac{x_2}{{1-{x_2}}}$
所以$λ+μ=\frac{x_1}{{1-{x_1}}}+\frac{x_2}{{1-{x_2}}}=\frac{{{x_1}（1-{x_2}）+{x_2}（1-{x_1}）}}{{（1-{x_1}）（1-{x_2}）}}=\frac{{{x_1}+{x_2}-2{x_1}{x_2}}}{{1-（{x_1}+{x_2}）+{x_1}{x_2}}}$
将（*）代入上式，得$λ+μ=\frac{{{x_1}+{x_2}-2{x_1}{x_2}}}{{1-（{x_1}+{x_2}）+{x_1}{x_2}}}=-1$
（Ⅲ）设P（x_p，y_p），Q（x_Q，y_Q）所以S（x_p+x_Q，y_p+y_Q），则${P^'}（{x_P}，0），{Q^'}（{x_Q}，0）$
由$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{O{P^'}}•\overrightarrow{O{Q^'}}+1=0$，得2x_Px_Q+y_Py_Q=-1…（1），
$\frac{{{y_P}^2}}{2}+{x_P}^2=1$…（2）
$\frac{{{y_Q}^2}}{2}+{x_Q}^2=1$…（3）
（1）+（2）+（3）得：$\frac{{{{（{y_P}+{y_Q}）}^2}}}{2}+{（{x_P}+{x_Q}）^2}=1$
即S（x_p+x_Q，y_p+y_Q）满足椭圆${C_2}：\frac{y^2}{2}+\frac{x^2}{1}=1$的方程，命题得证

点评 本题考查椭圆的方程的应用，直线与椭圆以及抛物线的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力．