Question

7．已知二次函数f（x）=x²+bx+c，其中常数b，c∈R．
（Ⅰ）若任意的x∈[-1，1]，f（x）≥0，f（2+x）≤0，试求实数c的取值范围；
（Ⅱ）若对任意的x₁，x₂∈[-1，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，试求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若任意的x∈[-1，1]，f（x）≥0，f（2+x）≤0，可得是f（1）=0，即1为函数函数f（x）的一个零点．由韦达定理，可得函数f（x）的另一个零点，进而可得实数c的取值范围；
（Ⅱ）若对任意的x₁，x₂∈[-1，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，f（x）_max-f（x）_min≤4，结合二次函数的图象和性质分类讨论，可得实数b的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）因为x∈[-1，1]，则2+x∈[1，3]，
由已知，有对任意的x∈[-1，1]，f（x）≥0恒成立，
任意的x∈[1，3]，f（x）≤0恒成立，
故f（1）=0，即1为函数函数f（x）的一个零点．
由韦达定理，可得函数f（x）的另一个零点，
又由任意的x∈[1，3]，f（x）≤0恒成立，
∴[1，3]⊆[1，c]，
即c≥3
（Ⅱ）函数f（x）=x²+bx+c对任意的x₁，x₂∈[-1，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤4恒成立，
即f（x）_max-f（x）_min≤4，
记f（x）_max-f（x）_min=M，则M≤4．
当|$-\frac{b}{2}$|＞1，即|b|＞2时，M=|f（1）-f（-1）|=|2b|＞4，与M≤4矛盾；
当|$-\frac{b}{2}$|≤1，即|b|≤2时，M=max{f（1），f（-1）}-f（$-\frac{b}{2}$）=$\frac{f（1）+f（-1）+|f（1）-f（-1）|}{2}$-f（$-\frac{b}{2}$）=（1+$\frac{\left|b\right|}{2}$）²≤4，
解得：|b|≤2，
即-2≤b≤2，
综上，b的取值范围为-2≤b≤2．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．