Question

17．若变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤8}\\{2y-x≤4}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，且z=4y-x的最大值为a，最小值为b，则a+b的值是（　　）

• A． 10
• B． 20
• C． 4
• D． 12

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．

解答 解：由z=4y-x得y=$\frac{1}{4}x+\frac{z}{4}$，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：
平移直线y=$\frac{1}{4}x+\frac{z}{4}$，
由图象可知当直线y=$\frac{1}{4}x+\frac{z}{4}$，经过点A时，直线y=$\frac{1}{4}x+\frac{z}{4}$的截距最大，此时z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=8}\\{2y-x=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$，即A（4，4）．
代入目标函数z=4y-x，
得z=4×4-4=12．即a=12，
经过点C时，直线y=$\frac{1}{4}x+\frac{z}{4}$的截距最小，此时z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=0}\\{x+y=8}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=0}\end{array}\right.$，即C（8，0）．
代入目标函数z=4y-x=-8，即B=-8，
则a+b=12-8=4，
故选：C．

点评 本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．